수학, 보고 만지고 경험하라!

글_ 편집실

1.  평면을 채우는 방법에 대해 배우는 서울불암초 4학년 아이들

2018 대한민국 수학교사상 수상
의사소통용 수학활동지 개발, 활용
수학적 경험은 곧 수학개념이며 학습!

  수학수업에서 학생 스스로 구성하는 수학적 경험이 곧 학생의 입장에서 수학 개념이고 학습이 된다.
  김남준 서울불암초 수석교사는 학교 현장에서 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 자신의 생각을 표현하고 친구들과 활발히 의사소통할 수 있는 활동지를 개발하여 수업에 활용하고 있으며, 학생 각자에게 상시적인 피드백이 가능한 과정 중심 평가와도 연계하고 있다. 특히 다양한 수업 자료를 활용하여 수학을 보고 만지고 경험하는 수업으로 구성함으로써 수학에 대한 긍정적 태도 변화를 유도하고 있다.
  이러한 공로를 인정받아 김 수석교사는 2018 대한민국 수학교육상을 수상하였다.
  대한민국 수학교육상은 교육부와 한국과학창의재단에서 매년 학생 중심의 교실수업 개선으로 수학교육 발전에 기여한 교원에게 수여하는 상으로 그는 다양한 실생활 자료를 활용하여 수학의 유용성을 느낄 수 있도록 지도하였으며, 기존 문제풀이 위주의 ‘가능성 영역’ 학습을 수학적 의사소통 능력을 활용하는 과제로 개발, 제공하여 학생들의 흥미와 참여를 이끈 점이 높게 평가받았다. 

 2.  온몸으로 도형을 표현하는 아이들        3.  평면을 채우는 방법에 대해 배우는 서울불암초 4학년 아이들

학생들의 수학적 호기심을 깨워라
  김남준 수석교사의 수업은 한 마디로 ‘보고 만지고 경험하는 수업’으로 요약된다. 그 중심에 교육과정을 기반으로 학생에게 의미 있는 ‘과제’를 제시해 오고 있다. 학생들이 호기심을 갖고 생각할 수 있는 기회를 주기 위함이다.
김 수석교사는 “이때 ‘과제’는 문제다운 것이어야 하며, 다른 수학 개념과 연결성을 갖추어야 하며, 수학적으로 중요한 내용이나 개념을 담고 있어야 한다.”고 설명한다. 일예로 5학년 교육과정에서 언급되는 ‘1m²의 단위’를 학습할 때 개념 이해를 돕기 위해 신문지로 1m²를 만들어 크기를 눈으로 확인하고 1m² 단위를 이용하여 복도와 운동장의 넓이를 재어보는 활동도 가능하다. 지도할 내용과 학습요소를 최적화한 의미 있는 과제를 제시함으로써 수업에 활기를 불어넣는 것이다. 
  김남준 수석교사는 “수학에 대한 긍정적인 태도를 가질 수 있도록 수학은 쉽고 재미있어야 한다.”며 문제풀이를 위한 수학이 아니라 수학의 유용성을 인식하고 수학에 대한 긍정적인 태도를 기를 수 있도록 다양한 놀이와 체험을 해오고 있다.”고 말한다.
  평면도형(사각형)을 배울 때 학생들이 교실 바닥에 누워 온 몸으로 사각형을 표현해 본다. 그 과정에서 교실은 즐거운 수학놀이터가 된다. 선대칭도형과 정육면체의 원리를 배울 땐 색종이 접기가 좋은 학습도구가 된다. 입체도형(삼각뿔)을 배우는 과정에서 실제로 학생들과 4D프레임을 이용해서 4m 이상 높이의 피라미드를 만들기도 한다. 작은 삼각뿔이 거대한 피라미드로 변해 가는 과정을 경험함으로써 수학 개념을 이해하고 호기심도 왕성해진다.
  누구나 한 번쯤 어려운 수학문제를 풀며 ‘도대체 수학을 왜 배워야할까?’ 의문을 품어본 적이 있을 것이다. 김 수석교사는 수학적 발견을 수업에 적극 활용하면서 수학이 우리 생활 속에서 얼마나 유용하게 쓰이는지, 왜 수학을 배워야 하는지 일깨워준다. 
  영국의 간호사로 ‘광명의 천사’로 불리던 나이팅게일은 ‘로즈다이어그램(장미모양을 닮았다고 해서 붙여진 도표)’을 이용해 군인들의 사망 원인을 분석하였다. 크림전쟁으로 죽은 영국군의 수조차 파악하지 못했던 그 시절, 나이팅게일은 질병(전염병)에 의해 죽은 군인, 부상으로 인해 죽은 군인, 기타 원인에 의해 죽은 군인의 수를 통계로 나타냈다. 이 통계는 깨끗한 위생이 사람을 살린다는 증거가 되었고 19세기 최고의 통계그래픽으로 손꼽힌다.
  인도의 수학자 카프리카의 이름을 딴 ‘카프리카 수’ 또한 수학의 유용성을 일깨워주는 좋은 학습 자료이다. 카프리카는 어느 날 태풍에 두 조각 난 네 자리 수 ‘30 25’를 보고 번득이는 생각을 하게 되고 ‘30+25=55, 55X55=3025’라는 규칙을 발견하였다. 김 수석교사는 나이팅게일의 로즈다이어그램과 카프리카 수 등 수학적 이야기를 수업으로 가져와 학생들에게 수학이 실생활에서 얼마나 유용하게 쓰이고 있는지 일깨워주고 있다.

4.  작은 삼각뿔이 거대한 피라미드로 변해가는 즐거운 수학놀이시간

수학적 지식을 공유하며 함께 하는 수업
  수업에서 누구하나 소외되지 않고 모두가 참여한다는 것은 무척 중요한 일이다.
  김 교사의 수업시간, 학생들은 짝이나 모둠 학생에게 설명하거나 친구 가르치기 등을 통해 자신이 알고 있는 수학적 지식을 친구에게 전달하고 친구의 아이디어를 경청한다. 모든 학생이 수업에 참여하고 자신이 알고 있는 지식을 서로 공유하고 나눔으로써 수학에 대한 지식의 폭을 넓히고 있다.

“설명할 때 친구가 모르는 것까지 고려하면서 설명해야 해서 어휘력이 좀 더 올라간 것 같아요. 그리고 이런 수학을 하면서 다른 수학하고는 달리 말을 해야 해서 수학이 더 쉬워지고 이해력이 높아진 것 같아요.”(유명진 6학년생)
“친구에게 설명하면서 내 실력이 더 높아진 것 같고 앞으로 풀이과정을 열심히 써야한다는 생각이 들었어요.(남경헌 6학년생)

  김남준 수석교사로부터 수학을 배우는 학생들의 공유 수업에 대한 평가다. 학생들은 친구에게 가르치면서 배우고, 배우면서 가르치며 그렇게 성장 중이다.

학생 눈높이에 맞춘 교수·학습자료 적극 활용
  김남준 수석교사는 수학에 대한 긍정적 태도와 경험을 갖도록 활동 중심의 수학 교수·학습 자료 개발에도 노력 중이다.
  그는 “2015 개정 교육과정에서 새로 신설된 놀이수학 및 탐구수학을 수학을 처음 접하는 초등학교 1학년에 접목하여 수학에 대한 긍정적 인식과 태도를 기르기 위한 자료를 개발하였으며, 교과서를 재구성하여 수업에 적합한 신체 중심 활동, 놀이 중심 활동, 교구 중심 활동의 세 영역으로 교수·학습 자료를 개발하였다.”고 설명한다.  
  또한 수학적 활동을 통한 창의성 개발을 할 수 있도록 5~6학
년용 STEAM 체험활동 프로그램도 개발하였다. 일예로 실제 모습과 다른 착시도형을 만들어 관찰하고 여러 분야에 적용되는 사례를 찾아보는 것이다. 평평한 TV화면 속 입체그림, 도로 한가운데 쓰인 글씨들, 착시도형을 관찰하고 실제 자로 길이도 재어본다. 직선이 왜 휘어져 보이는지, 같은 크기의 글씨가 왜 달라보이는지 그 원리를 알아본다. 학생들은 그림으로 나타낼 수 있으나 실제로 존재하지 않는 도형의 구조를 탐구하고 착시 도형을 만들면서 수학적 흥미와 관심은 배가된다.

  김 수석교사는 2015 개정 교육과정 수학 자료 개발에 직접 참여했으며, 전국수학교사모임, 서울초등수학연구회 등에서 꾸준히 활동해 오고 있다. 이런 저력으로 그는 6년째 서울시교육연구정보원에서 수학 컨설팅장학지원단으로 활동해 오고 있다. 또한 2017년부터는 수학나눔학교 수학교육지원단으로 활동하며 교내외에 수업공개를 해오고 있다. 특히 신규, 저경력 교사를 위해 수업 설계와 실제 수업, 학생들과의 상호작용 방법, 모든 학생이 참여하는 수업모델 등에 대한 수업 나눔을 이어오고 있다.

5.“정사각형으로 화이트보드를 채워볼까?” 보고 만지고 경험하는 수학수업    6. ‘수학아 놀자’ 수학이 쉽고 재미있을 때 수학에 대한 긍정적 태도를 갖게 된다.

김남준 수석교사의 경험 속에서 수학개념 이해하기
“사건이 일어날 가능성은 얼마나 될까” 

  6학년 교육과정에서 제시하는 ‘비와 비율’ 단원을 실생활 속에서 가능성을 수치로 나타내는 예를 알아보고, 사건이 일어날 가능성을 수로 표현해 보았다.

  이 수업은 비율을 보고 사건이 일어날 가능성을 알아보는 수업으로, 가능성(확률, 통계)은 실생활에서 두루 쓰이고 꼭 필요한 수학적 소양이지만, 교과서에서 다루는 소재가 학생에게 흥미를 끌지 못하고 단순한 문제 풀이에 그치는 경향이 있다. 때문에 ‘자료와 가능성’ 영역에서 활용될 수 있는 다양한 소재를 소개하고 학생들의 흥미와 참여를 이끄는데 중점을 두었다.

 ●가능성 이해하기 비가 올 가능성은?
날씨와 일기예보는 일상생활에서 친숙한 소재이다. 특히 일기예보 중 비가 올 가능성은 학생들이 가장 많이 접하는 내용이기도 하다. 일기예보에서 비가 올 가능성을 수업의 소재로 활용하여 학생들의 흥미를 일으키고 가능성을 일상생활 속에서 바르게 사용할 수 있도록 하였다. 먼저, 일기예보에서 가능성의 의미를 탐색하고 퀴즈쇼를 통해 비가 올 가능성이 무슨 뜻인지 생각해 보았다. 그리고 기상청의 주간예보(데이터)를 이용해 ‘비가 올 가능성’과 일상생활에 어떻게 활용할 수 있을지 이야기를 나눈다.

● 개념 확장하기 생일이 같은 사람이 있을까?
어느 두 사람의 생일이 같을 가능성은 낮은 편이다. 그런데 우리 학급에 생일이 같은 두 사람이 있을 가능성은 의외로 높다. 학급을 대상으로 생일이 같은 사람이 있을 가능성을 살펴보고 실제 생일이 같은 사람이 있는지 확인한다. 또한 생일이 같은 사람이 2명 있을 가능성을 나타낸 그래프를 보고 그 의미를 해석해 본다. 전체 사람 수에 따라 생일이 같은 학생이 있을 확률을 계산해 보면, 10명 중에서 약 12%, 20명 중에는 약 41%, 30명 중에는 약 71%가 된다. 100명일 경우에는 99.99996%가 되어 거의 100%이다. 즉 학생이 100명 모여 있다면, 그 중 생일이 같은 학생이 반드시 있다. 

● 개념 적용하기 나이팅게일과 로즈다이어그램
어려서부터 수학을 공부하였고 통계를 일상생활에 적극 활용하였던 나이팅게일의 일화를 통해 로즈다이어그램의 특징을 알아보고 통계의 중요성을 알아본다. 나이팅게일은 로즈다이어그램을 이용해 군인들의 사망 원인을 분석하였다. 나이팅게일의 사례를 통해 수학의 유용성을 깨달을 수 있다.
학생의 사전 경험과 흥미를 고려하여 실제 접할 수 있는 자료를 활용하여 수업을 진행하였다. 수학 개념의 연결성을 고려하여 개념 익히기 → 개념 확장하기 → 개념 적용하기 과정을 거쳐 이전에 배웠던 개념과 새로운 개념을 연결할 수 있도록 지도하였으며, 또한 수업을 통해 알게 된 사실이나 수학적 원리는 짝 또는 모둠활동을 통해 생각을 공유하였다.